Uma possível solução!
proc soma { N } { set A 0 set B 0 while {$A < $N} { incr A set B [expr $B + $A] } puts "A soma dos $N primeiros números inteiros é $B" }
Para testar, basta chamar o procedimento com diferentes argumentos e observe a saída dos resultados no terminal:
% soma 1 A soma dos 1 primeiros números inteiros é 1 % som 2 A soma dos 2 primeiros números inteiros é 3 % soma 4 A soma dos 4 primeiros números inteiros é 10 % soma 5 A soma dos 5 primeiros números inteiros é 15