Uma possível solução!

proc soma { N } {
    set A 0
    set B 0
    while {$A < $N} {
	incr A
	set B [expr $B + $A]
    }
    puts "A soma dos $N primeiros números inteiros é $B"
}

Para testar, basta chamar o procedimento com diferentes argumentos e observe a saída dos resultados no terminal:

% soma 1
A soma dos 1 primeiros números inteiros é 1
% som 2
A soma dos 2 primeiros números inteiros é 3
% soma 4
A soma dos 4 primeiros números inteiros é 10
% soma 5
A soma dos 5 primeiros números inteiros é 15

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